Análise Combinatória - Exercícios Resolvidos

1 – Quantos anagramas tem a palavra LICOROSO?
R. Nesse exercício trabalharemos com permutação, em que 8 é o total de letras, e 3 é a quantidade de repetições, no caso da letra "O".

Pn(o3) = __8!__ = _8.7.6.5.4. 3!_ = 6720 anagramas
                    3!                3!

Se houvessem outras letras repetidas, dividiríamos o total de letras pelo número de repetições haveria, exemplo com a palavra PARAR:

PARAR = possui 5 letras
A = 2 repetições
R = 2 repetições

P5(2,2) = __5!__ = _5. 4. 3. 2!_ =  60  = 30 anagramas
                  2! 2!            2! 2!             2

2 – Numa sala de baile há 6 moças e 6 rapazes. De quantos modos distintos podemos formar um casal para danças?
R. Nesse caso, trabalharemos com um Arranjo (12,2), sendo 12 o total de pessoas e 2 os arranjos que desejamos fazer, visto que queremos formar casais.

A12,2 = __12!__ = 12.11.10! = 132 casais distintos.
              (12-2)! 10!

3 – Com os dígitos 1,2,3,7 e 9 quantos números com 5 algarismos distintos podemos formar?
R. 5.4.3.2.1 = 120 números distintos.


4 – Quantos anagramas podemos formar com a palavra LIVRO começando com a letra L?
R. LIVRO | L 4.3.2.1 = 24 anagramas.

Você sabe o que é Análise Combinatória?

Sua origem deu-se pela necessidade de calcular o número de possibilidades existentes de algo, que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem.

A análise combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar – de uma forma indireta – o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

Fatorial

Seja um número n inteiro e não negativo, definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo:

n! = n. (n-1).(n-2). 4,3,2,1 para n ≥ 2

Para n = 0, teremos 0! = 1

Para n = 1, teremos 1! = 1

Princípio fundamental da contagem – PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, a terceira de k3 maneiras diferentes, e assim sucessivamente então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:

T = K1 . k2 . k3 . ... Kn

Exemplo: o Detran decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual é o máximo de veículos que poderá ser licenciado?

3 letras = 26 (alfabeto)

4 algarismos  = 10 (0 à 9)

       L     L     L    A   A  A  A
T = 26 . 26 . 26 . 10.10.10.10
T = 175.760.000

Permutação simples

Permutação simples de n elementos distintos são os os agrupamentos formados por todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Exemplo: os elementos ABC são possíveis as seguintes permutações ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

- O número total de permutações simples n elementos distintos é dado por n!, isto é:

Pn = n! onde n! = n (n-1).(n-2)...
Ex. P6 = 6!

Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de 5 lugares.
Resposta:
P5 = 5!
5! = 5.4.3.2 = 120 formas.

Em nossa próxima postagem, estaremos publicando alguns exercícios sobre análise combinatória. Até mais!