sexta-feira, 6 de setembro de 2013

Tautologias, Contradições e Contingências

Tautologia: Chama-se tautologia toda proposição composta cuja última coluna da sua tabela verdade encerra somente a letra V (Verdade).
Exemplo:
~(P^~P)
P ~P P^~P ~(P^~P)
V F F V
F V F V

Contradição
Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a Letra F (Falsa).
Exemplo:
P^~P
P~P P^~P
V F F
F V F

Contingência
Chama-se contingência toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela verdade figuram as letras V e F cada um pelo menos uma vez.
Exemplo:
P à ~P
P~P Pà~P
V F F
F V V

Exemplo de exercícios
1 – Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraválidas, ou contingentes.

a)                  P à (~PàQ)
Proposição Tautológica
P
~P
Q
~PàQ
P à (~PàQ)
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
V

b)                  ~PvQ à (PàQ)
Proposição Tautológica
~P
Q
P
~PvQ
PàQ
~PvQ à (PàQ)
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V

c)                  P à (Qà(QàP))
Proposição Tautológica
P
Q
QàP
Qà(QàP
P à (Qà(QàP))
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V

d)                  ((PàQ)ßàQ) à P 
Resposta: Contingência
P
Q
PàQ
(PàQ)ßàQ
((PàQ)ßàQ) à P
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V

e)                  Pv~Q à (Pà~Q) 
Resposta: Contingência
P
~Q
Pv~Q
Pà~Q
Pv~Q à (Pà~Q)
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V

f)                  ~Pv~Q à (PàQ)
Resposta: Contingente
~P
~Q
P
Q
~Pv~Q
(PàQ)
~Pv~Q à (PàQ)
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V

g)                  Pà(PvQ)vR
Resposta: Tautológica
P
Q
R
PvQ
(PvQ)vR
Pà(PvQ)vR
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V

h)                  P/\Q à (PßàQvR)
Resposta: Contingente
P
Q
R
P/\Q
QvR
PßàQvR
P/\Q à (PßàQvR)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
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quinta-feira, 5 de setembro de 2013

Lógica de Programação - Proposições

Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido complexo. As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos.

Ex.
a) A lua é um satélite da Terra
b) Recife é a Capital de Pernambuco

A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princípios.

** Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo
** Princípio do Terceiro Excluído: toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, nunca um terceiro

Valores Lógicos das Proposições
Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa, sendo representados pelas letras V e F.

Ex. 
a) o Mercúrio é mais pesado que a água (V)
b) o Sol gira em torno da Terra (F)

Proposição simples e composta

SIMPLES -> Aquela que não possui nenhuma outra como parte integrante de si.
Ex.
a) Carlos é careca
b) Pedro é estudante

COMPOSTA -> Aquela que é formada pela combinação de duas ou mais proposições

Ex.
a) Carlos é careca e Pedro é Estudante
b) Carlos é Careca ou Pedro é Estudante

Conectivos
Chama-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras “e”, “ou”, “não”, “se”, “se... então...”, “... se e somente se...”

Ex:
a) 6 é par e 8 é também
b) Não esta chovendo
c) Se Jorge é engenheiro, então sabe matemática

Tabela Verdade
Segundo o princípio do Terceiro Excluído, toda a proposição simples ou é V ou é F.
Em proposição composta, a determinação do seu valor lógico depende unicamente dos valores das proposições simples componentes, ficando por elas univocamente por eles determinado.

   
Operações Lógicas sobre Proposições

P
Q
R
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F


Símbolo
Representação
~
“não p”
^
“P e Q”
V
“P ou Q”
V
”ou P ou Q”
->
“... se P então Q” (INP)
 <- ->
“p se e somente se Q ”

Negação (N)
Chama-se negação de uma proposição “p” a proposição representada por não “p”:

P
~F
V
F
F
V

Conjunção (^)
Chama-se conjunção de duas proposições, cujo valor lógico e a verdade, quando as proposições “p” e “q” são verdadeiras

P
Q
P^Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F

Disjunção (v)
Chama-se disjunção de duas proposições, cujo valor lógico for verdadeiro e a outra proposição for falsa.

P
Q
PvQ
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F

 Disjunção Exclusiva (v)
Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições, cujo valor é verdadeiro quando uma das proposições for verdadeira:

P
Q
PvQ
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F

Condicional (->)
Chama-se proposição condicional, cujo valor é falso, no caso em que “P” for verdadeiro e “Q” for falso.

P
Q
P->Q
V
V
V
 V
F
F
F
V
V
F
F
V

Bicondicional (<- ->)
Chama-se de proposição bicondicional, cujo valor seja verdadeiro quando as proposições são ambas verdadeiras ou falsas.

P
Q
P <- -> Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
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quarta-feira, 4 de setembro de 2013

Exercícios - Permutação e Combinação

Abaixo, alguns exercícios resolvidos sobre permutação e combinação simples, as quais podemos ver seu uso e aplicação em algumas situações:

1 - Referente a palavra BANANA:

a) Quantos anagramas poderemos obter? Desconsiderando suas repetições:
    Pn = n! | p = 6! | p = 720 anagramas
b) Quantos anagramas poderemos obter? Considerando suas repetições:
    BAN | Pn = 3! = Pn = 6

2 - Um pintor possui 5 cores e quer misturar 3 delas, quantas combinações podem ser formadas entre essas cores?

C = __5!__ = _120_ = 120 = 10
      3! (5-3)!    6 (2)      2

3 - Considerando os números: 1,3,5,7, quantos números distintos de 2 algarismos podemos formar:

A4,2 = _n!_ =   _4!_ = 24 = 12 combinações
         (n – k)!  (4-2)!     2
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terça-feira, 3 de setembro de 2013

Combinações Simples

São combinações simples de N elementos distintos de taxa k (tomados K a K) os subconjuntos formados por K elementos distintos escolhidos dentre os N elementos dados.
Representados por Cn,k o número total de combinações de N elementos tomados K a K temos:

Cnk = __n!__
          k! (n-k)!

Exemplo: Em uma prova com 15 questões das quais o aluno deve resolver 10, de quantas formas ele poderá escolhê-las?

Cnk = ____15!_____ =   15.14.13.12.11.10! =  360360 = 3003 formas.
         10!. [(15-10)!]                10!   5!                120
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segunda-feira, 2 de setembro de 2013

Arranjos Simples

Chama-se arranjo simples de taxa K um conjunto N de elementos, em que podemos considerar agrupamentos de K elementos dispostos em uma certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos.

Representando o número total de arranjos de N elementos tomados K a K (taka K) por AnK, teremos:

AnK =  __n!__
             (n-k)!

Assim o conjunto: Z = {a,b,c}, teremos:

a) Arranjos de taxa 2
    ab, ba, ac, bc, ca, cb

Assim,
A3,2 = _3!_  = 3 . 2 . 1 = 6
           (3-2)!        1

b) Arranjos de taxa 3
   abc, acb, bac, bca, cab, cba

A3,3 = _3!_  = 3 . 2 . 1 =   6 = 6
           (3-3)!        0!          1

 * O fatorial de 0 ( 0! ) é 1, pois o produto de número nenhum é 1.

Veja o exemplo abaixo:
Um cofre com dígitos de 0 a 9. O segredo do cofre é sequência de 3 dígitos distintos. Quantas tentativas uma pessoa deverá fazer, no máximo, para abrir o cofre?

A10,3 = __10!__  = 10 . 9 . 8 . 7! =  720
               (10-3)!              7!
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