Matéria de Quadro - Equivalência e Implicação Lógica

Equivalência lógica.
Definição: Diz que uma proposição é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma outra proposição, se as tabelas verdade destas duas proposições são idênticas para tal utiliza a notação 
Propriedades
A relação de equivalência lógica entre proposições utiliza-se das propriedades reflexiva = P  P

Simétrica    = Se P<-->Q , então
                        Q<--> P

Transitória = Se  P<--> Q   e
                        Q<-->R, Então
                        P<-->R

Exemplificação.:
As Proposições nnP e P são equivalentes, isto pe simbolicamente nnPP  (Regra da Dupla negação)

P	nP	nnP
V	F	V
F	V	F

As proposições ~Pà e P são equivalentes, isto é simbólicamente ~P->P  <-->P (regra de clavius)

P	~P	~PàP
V	F	V
F	V	F

As condicionais P à P^Q e PàQ também são condicionais equivalentes.
PàP^Q

P	Q	P^Q	PàP^Q	PàQ
V	V	V	V	V
V	F	F	F	F
F	V	F	V	V
F	F	F	V	V

Sendo P -> P^Q <--> P->Q (Regra de absorção) 

Tautologia e Equivalência Lógica:
A proposição P é equivalente a proposição Q, isto é:

P <--> Q

Se e somente se a bicondicional: P <--> Q é tautológica.

Se a proposição P e Q são equivalentes, então, tem tabelas idênticas, e por conseguinte o valor lógico da bicondicional for sempre V, isto é, tautológicos.

P^Q -> R < > (P -> (Q->R))

P	Q	R	P^QàR	ßà	(Pà(QàR))
V	V	V	V	V	V
V	V	F	F	V	F
V	F	V	V	V	V
V	F	F	V	V	V
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V
F	F	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V

Portanto, as condicionais
P^Q->R E -> (Q->R) são equivalentes sendo representado:

P^Q -> R <--> P -> (Q->R)

Simb.	Representação
~	“não p”
^	“P e Q”
V	“P ou Q”
V	”ou P ou Q”
->	“... se P então Q”
<- ->	“p se e somente se Q ”

Exemplo:

Se beber, não dirija.
     P               Q            àP^~Q

Se dirigir, não beba.
     P             Q              àQ^~P

Implicação Lógica

Definição diz se que uma proposição P implica logicamente uma proposição Q, se Q é verdade todas as vezes que P for verdade. 

Propriedade
A relação de implicação lógica entre proposições utiliza das propriedades:
Reflexivas = D -> P
Transitivas = Se P -> Q e
                    Q -> R, então
                     P -> R

Exemplificação
As tabelas verdade das proposições:

P ^ Q, P v Q, P <--> Q

São:

P	Q	P^Q	PvQ	PßàQ
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	F	V	F
F	F	F	F	V

A proposição P^Q é verdadeira somente na linha 1, e nesta linha, as proposições PvQ e PßàQ, também são verdadeiras, logo a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições

P^Q -> PvQ e P^Q -> P <--> Q

A mesma tabela também demonstra as importantes regras de inferência.

(Adição) P -> PvQ e Q -> PvQ
(Simplificação) P^Q -> P e P^Q -> Q

A tabela verdade da proposição (PvQ) ^ ~ P é:

P	Q	PvQ	~P	(PvQ)^~P
V	V	V	F	F
V	F	V	F	F
F	V	V	V	V
F	F	F	V	F

Esta proposição é verdadeira somente na linha 3, e nesta linha, a proposição Q também é verdadeira logo:

(PvQ)^~P -> Q

(Regra do Silogismo disjuntivo)

A tabela verdade das proposições:

(P->Q)^~Q e ~P

P	Q	PàQ	~Q	((PàQ)^~Q)	~P
V	V	V	F	F	F
V	F	F	V	F	F
F	V	V	F	F	V
F	F	V	V	V	V

                        (PàQ)^~Q Þ ~P

(Regra Modos Tollens)
A Mesma tabela demonstra que ~P implica P à Q, isto é:
~P -> P -> Q

Tautologia e Implicação Lógica

A proposição P implica Q, isto é:

P -> Q 

Se e somente se a condicional
P -> Q é tautológica

A condicional P^~P->Q

P	Q	~P	P^~P	P^~PàQ
V	V	F	F	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

Logo, subsiste a implicação lógica P^~P -> Q